First steps towards p-adic Langlands functoriality

— By the theory of Colmez and Fontaine, a de Rham representation of the Galois group of a local field roughly corresponds to a representation of the Weil-Deligne group equipped with an admissible filtration on the underlying vector space. Using a modification of the classical local Langlands correspondence, we associate with any pair consisting of a Weil-Deligne group representation and a type of a filtration (admissible or not) a specific locally algebraic representation of a general linear group. We advertise the conjecture that this pair comes from a de Rham representation if and only if the corresponding locally algebraic representation carries an invariant norm. In the crystalline case, the Weil-Deligne group representation is unramified and the associated locally algebraic representation can be studied using the classical Satake isomorphism. By extending the latter to a specific norm completion of the Hecke algebra, we show that the existence of an invariant norm implies that our pair, indeed, comes from a crystalline representation. We also show, by using the formalism of Tannakian categories, that this latter fact is compatible with classical unramified Langlands functoriality and therefore generalizes to arbitrary split reductive groups. Résumé. — Par la théorie de Colmez et Fontaine, une représentation de de Rham du groupe de Galois d’un corps local correspond essentiellement à une représentation du groupe de Weil-Deligne dont l’espace sous-jacent est muni d’une filtration admissible. En modifiant la correspondance locale de Langlands, on associe à chaque couple formé d’une représentation du groupe de Weil-Deligne et des poids d’une filtration (admissible ou pas) une représentation localement algébrique particulière d’un groupe linéaire général. On conjecture qu’un couple provient d’une représentation de de Rham si et seulement si la représentation localement algébrique correspondante possède une norme invariante. Dans le cas cristallin, la représentation du groupe de Weil-Deligne est non-ramifiée et la représentation localement algébrique associée peut s’étudier grâce à l’isomorphisme de Satake classique. En prolongeant ce dernier à une complétion de l’algèbre de Hecke, on montre que l’existence d’une norme invariante comme ci-dessus implique que le couple provient effectivement d’une représentation cristalline. On montre aussi, en utilisant le formalisme des catégories tannakiennes, que ce dernier fait est compatible avec la fonctorialité de Langlands non-ramifiée classique, et donc qu’il se généralise à tout groupe réductif déployé. 2 C. BREUIL & P. SCHNEIDER